Absurde Mathematik [24c3] – Paradoxa wider die mathematische Intuition
This entry was posted on 25.01.2012
Ein kleiner Streifzug durch die Abgründe der Mathematik. Eigentlich ist der Mensch mit einer recht gut funktionierenden Intuition ausgerüstet. Dennoch gibt es Paradoxa, welche mathematisch vollkommen korrekt und beweisbar sind, jedoch unserer Intuition widersprechen. Der Vortrag bietet einen Streifzug durch einige dieser Paradoxa, die kurz und anschaulich erklärt werden. Persons: Anoushirvan Dehghani Inhalt: Gabriels Horn Efrons intransitive Würfel Penney-Ante Das Ziegenproblem Das Triell
@Humanyu1
Wieder falsch, das ist kein Widerspruch:
Das Volumen ist endlich weil die Summe der Teil-Volumina KONVERGIERT (nämlich gegen Pi), die Oberfläche ist unendlich weil die Summe der Teil-Flächen DIVERGIERT (d.h. eben ∞ groß wird). Beides hat nichts mit der Eigenschaft der Zahl Pi zu tun.
Du kannst nicht beweisen, dass 1+1=4 ist, solange du dich an alle mathematischen Regeln hältst. Die meisten dieser “Beweise” basieren auf einer Division durch 0, welche keine Äquivalenzumformung darstelt.
@HaAl0
“Die Mathematik im Video und die Schlüsse sind absolut korrekt. Pi und e haben EXAKT definerte, endliche Werte. Sie können BELIEBIG genau dargestellt werden.”
dann kann die oberfläche nicht unendlich sein, sonst widersprichst du dir selbst.
ich weiss, die meisten menschen können sich unendlichkeiten visuell nicht vorstellen, und ich kann mit x-mathematischen regeln auch x-beliebige dinge beweisen (z.b. 1+1=4), d.h. nicht, dass ergebnisse daraus in andere systeme übertragbar sind.
@Humanyu1
Einmal versuche ich es noch
Die Mathematik im Video und die Schlüsse sind absolut korrekt. Pi und e haben EXAKT definerte, endliche Werte. Sie können BELIEBIG genau dargestellt werden.
Ein anderes Beispiel: Summiert man (1/2^i) für i=1…∞ so erhält man EXAKT 1, und das, obwohl zu der Zahl immer wieder etwas hinzukommt.
Das Summieren unendlich vieler Summanden verhält sich ein wenig anders, als “gewöhnlich”. Manchmal kommt es dabei sogar auf die Reihenfolge der Summanden an.
@HaAl0
wenn wir das video ansehen beginnt er ja auf dem graphen mit dem wert 1 (obwohl da steht x>1). somit beginnt er mit einer endlichkeit, die dann laufend verkleinert wird. radiusmässig bewegen wir uns also ganzzahlig vorwärts, aber umfang, fläche, volumen sind Pi-abhängig, ergo unendlich wenn Pi ungleich endlich ist, wobei wir das fortschreiten des radius natürlich auch in unendlich kleine schritte unterteilen könnten. somit sind auch ganze zahlen nur ein spezialfall einer unendlichkeit.
@HaAl0
sry, kleiner fehler, Pi wächst natürlich nicht ins unendlich kleine, müsste ja sonst gegen null konvergieren, es wächst eben in seine Pi-spezifische unendlichkeit. da aber sowohl umfang, wie fläche und volumen Pi-abhängig sind, können eben nur alle spezifisch unendlich sein, obwohl wir jedes segment als endlich wahrnehmen. das hingegen ist paradox! aber das haben unendlichkeiten eben so an sich
und noch was: die oberfläche eines körpers ist mengenmässig immer kleiner als sein volumen.
@HaAl0
ich glaube da müssten wir mal den begriff der unendlichkeit genauer anschauen, da es unendlich viele unendlichkeiten gibt, die nicht miteinander austauschbar sind. natürlich wächst Pi nicht ins unendlich grosse, aber es wächst ins unendlich kleine, erreicht nie einen endpunkt und ist daher eben eine spezielle unendlichkeit (es sind unendlich viele endliche werte die eben nach Pi streben, es aber nie erreichen, daher kann Pi nicht wirklich endlich sein).
@Humanyu1
Pi und e sind transzendale Zahlen, das stimmt. Somit ist die Ziffernfolge unendlich. Aber der WERT beider Zahlen ist endlich, das heißt, er steigt nicht ins unendliche.
Um auf das Video zurück zu kommen: wenn du Pi Liter (also 3,14….) Farbe benötigst, dann kannst du diese z.B in einen 4 l fassenden Eimer füllen (du wirst es natürlich nie schaffen, den EXAKTEN Wert einzufüllen). Aber auch 4 l (mehr als pi l und endlich) reichen nicht um die ∞ große OBERFL. zu streichen
@HaAl0
da hast du wohl recht mit deinem beispiel. aber erklär mir mal wieso gemäss dem vortragenden Pi endlich sein soll (bei 3:13)? bis jetzt war Pi für mich immer eine transzendente zahl, genauso wie e.
@Humanyu1
Du verwechselst transzendente Zahlen mit unendlichen und/oder rationalen. Ein Wert ist in der Mathematik unendlich, wenn er über alle Grenzen wächst. 1.1 periodisch ist beispielsweise immer kleiner als 1.2 und somit ein endlicher Wert. Es ist sogar eine rationale Zahl (10/9) und die Unendlichkeit der Stellen (nicht der Zahl selbst!) ist in diesem Fall nicht eine Eigenschaft der Zahl selbst, sondern des Dezimalsystems. Auf Basis 9 schreibt sich diese Zahl exakt 1.1
@HaAl0
das sagt der richtige! also wenn für dich 1.1 periodisch nicht in die unendlichkeit läuft und daher für dich keine unendlichkeit ist, dann hast du von der unendlichkeit gar nichts begriffen. vielleicht solltest du dich mal mit fraktalen beschäftigen, falls dir das überhaupt hilft. weisste, es gibt unendlich viele unendlichkeiten, und jede hat ihre eigenen spezifischen eigenschaften. interessanterweise sind alle davon in sich selbst verwoben. viel spass.
@Humanyu1
Wenn man die Mathematik nicht versteht, soll man nicht so große Töne spucken! Nicht alles, zu dem man unendlich oft etwas hinzuzählt wächst auch ins unendliche!
Beispiel, das vielleicht sogar du verstehst:
Die Unendliche Summe über die Elemente (1/10^i) [mit i von 0 bis unendlich];
also anders geschrieben 1+1/10+1/100+1/1000+1/10000+….
ist alles andere unendlich und exakt der Wert 1.1 periodisch (also1.1111111…)
Ähnlich verhält es sich mit Gabriels Horn, nichts davon ist absurd!
@TonEEsNightmare
noch was zum abschluss:
ich halte mich einfach an Ockhams Rasiermesser (siehe wiki).
@TonEEsNightmare
ich will auch nicht streiten. ich sage auch nicht, dass seine rechnungen falsch sind, dass er aber falsche rechnungen anwendet, respektive die schlussfolgerungen aus seinen resultaten falsch sind. daher ist es auch kein wirkliches paradoxon, sondern ein künstlich konstruiertes aus falschen vergleichen, so nach dem motto: “jede ente ist ein vogel, ergo ist jeder vogel eine ente”!
daher kann ich ihn auch nicht ernst nehmen.
@Humanyu1
Ich will mich nicht mit dir streiten, denn ich befürworte es immer wenn jemand seine eigene Meinung hat.
Die Mathematik hier ist nicht falsch angewandt, sondern ist an sich “falsch”. Wenn ich eines gelernt habe, dann das Mathematik in seiner reinsten und abstraktesten Form nichts mehr mit der Realität zu tun hat. Das was du mit den Segmenten sagst mag zwar wahr sein, beweist aber nicht dass seine Rechnungen falsch sind(was sie nicht sind). Dies tönt für mich ehe interessant.
Gruß
@TonEEsNightmare
jeder kann sich doch selbst überlegen, dass jedes segment eine endliche fläche und ein endliches volumen hat, dass wenn man aber unendlich viele segmente aneinander reiht, logischerweise auch eine unendliche fläche und ein unendliches volumen entsteht. also sind seine ganzen schlussfolgerungen die er aus den formeln zieht logisch absurd und kein paradoxon!
tönt alles wissenschaftlich, ist es aber nicht. ganz einfach falsch angewandte mathematik.
@TonEEsNightmare
sry, aber der vergleicht äpfel mit birnen, doch daraus entsteht einfach kein paradoxon, sondern fruchtsalat! er sagt ja selbst wir müssten ihm diese formel einfach glauben! aber hallo, wir sind da nicht in der kirche, sondern in der mathematik!
@Humanyu1
Ich denke du hast völlig falsche Anforderungen an dieses Video gestellt.
Wie der Titel schon sagt geht es um Paradoxa, also um Widersprüche die eben nicht zu allgemeinen Gedankengängen passen. Das was du falsche Behauptung nennst, kann man wie im Video gezeigt nachrechnen
und genau das ist ja eben das interessante! Warum passt das was man sich errechnen kann, nicht mit der Vorstellung unserer Realität überein? Mich brachte dies dazu das Video ganz anzuschauen.
Gruß
@achleckme – nein danke!
jop, ich meinte die nachkommastellen. trotzdem, die oberfläche soll unendlich sein? das volumen aber endlich? sry, aber das volumen ist eben auch unendlich! auch wenn es immer einen kleineren zuwachs erfährt, genau das tut die oberfläche aber auch. und falls man nur segmente betrachtet, sind beide endlich. deshalb habe ich gar nicht mehr weiter geschaut, wenn schon am anfang eine falsche behauptung aufgestellt wird.
@Humanyu1 uns fällt auf: die 3,2cm oder gar 4cm werden nie erreicht da eine nachkommastelle nie größer sein kann als 9/10 des kleinst möglichen wertes (also 1) der vorhergehenden stelle.
@Humanyu1 srry zu wenig zeichen erlaubt
… du meinst warscheinlich da pi unendlich viele nachkommastellen hat wird auch eine pi cm lange strecke unendlich lang (was wir ja gerade widerlegt haben). dann zeichnen wir mal eine pi cm lange strecke und runden pi dabei mal sehr grob auf 3. also eine 3cm lange strecke. zeichnen wir mal genauer. also 3,1cm… und nochmal: 3,14cm. usw. usw. irgendwann sind wir sagen wir mal bei 3,14159265cm.
@Humanyu1 srry zu wenig zeichen erlaubt
… du meinst warscheinlich da pi unendlich viele nachkommastellen hat wird auch eine pi cm lange strecke unendlich lang (was wir ja gerade widerlegt haben). dann zeichnen wir mal eine pi cm lange strecke und runden pi dabei mal sehr grob auf 3. also eine 3cm lange strecke. zeichnen wir mal genauer. also 3,1cm… und nochmal: 3,14cm. usw. usw. irgendwann sind wir sagen wir mal bei 3,14159265cm.
@Humanyu1 nehmen wir mal an pi sei nicht endlich sondern eben unendlich. also pi=∞ so… dann berechnen wir mal den umfang eines kreises mit dem radius 2cm… die formel dazu: U=2*pi*r für r setzen wir den radius ein also 2. und für pi müssten wir nun auch ∞ einsetzen können. machen wir das mal: U=2*2*∞=∞ der kreis hätte also einen unendlich langen umfang, was nicht möglich ist da diesser kreis real vor uns auf einem blatt papier gezeichnet ist und einen endlichen platz ausfüllt.
@Humanyu1 nehmen wir mal an pi sei nicht endlich sondern eben unendlich. also pi=∞ so… dann berechnen wir mal den umfang eines kreises mit dem radius 2cm… die formel dazu: U=2*pi*r für r setzen wir den radius ein also 2. und für pi müssten wir nun auch ∞ einsetzen können. machen wir das mal: U=2*2*∞=∞ der kreis hätte also einen unendlich langen umfang, was nicht möglich ist da diesser kreis real vor uns auf einem blatt papier gezeichnet ist und einen endlichen platz ausfüllt.
Seit wann ist Pi endlich?
So ein Dummfug!
nice